Il Metodo di Laplace per il Calcolo del Determinante di Matrici 4x4 e Oltre

Il calcolo del determinante è un'operazione fondamentale in algebra lineare, che fornisce informazioni cruciali sulle proprietà algebriche e geometriche di una matrice quadrata. Tra i vari metodi disponibili, lo sviluppo di Laplace, formulato dal matematico francese Pierre Simon Laplace, rappresenta un approccio generale e ricorsivo, valido per matrici di qualsiasi ordine. Dopo aver introdotto il concetto di determinante, oggi vediamo qual è il metodo generale per calcolarlo, valido per ogni ordine di matrice quadrata. Questo metodo è una generalizzazione dei casi 2x2 e 3x3.

Il Concetto di Determinante in Algebra Lineare

In algebra lineare, il determinante della matrice è un numero che descrive le proprietà algebriche e geometriche di una matrice quadrata. Per esempio, una matrice A di ordine 1 ha un solo elemento a₁₁=5, e il suo determinante è semplicemente 5. La seguente matrice A di ordine 2 è composta da due righe e due colonne:

$$ A=\begin{pmatrix} a{11} & a{12} \ a{21} & a{22} \end{pmatrix} $$

Il suo determinante è dato da $det(A) = a{11}a{22} - a{12}a{21}$.

Il Metodo di Laplace: La Regola Generale

La regola generale del metodo di Laplace ci dice che possiamo ottenere il determinante di una matrice fissando una sua riga o colonna qualsiasi. In particolare, dobbiamo fare la sommatoria di ogni elemento algebrico per il relativo complemento algebrico. Ad esempio, se fissiamo una data riga i di una matrice quadrata A di ordine n, scriviamo che:

$$ \det A = \sum{j=1}^n a{ij} \cdot A^*_{ij} $$

dove:

• $a_{ij}$ è l'elemento della matrice A sulla riga i e sulla colonna j.
• $A^*{ij}$ è il complemento algebrico relativo all’elemento algebrico $a{ij}$.

Il suo metodo è una generalizzazione dei casi 2×2 e 3×3.

Il Complemento Algebrico: Componenti Fondamentali

Per calcolare il complemento algebrico $A^*{ij}$ associato all'elemento algebrico $a{ij}$, si usa la seguente regola:

$$ A^*{ij} = \text{segno(posizione $(a{ij})$)} \cdot \det A_{ij} $$

Tale formula è composta da due elementi chiave: il segno della posizione dell'elemento e il determinante della matrice complementare.

Posizione Pari e Posizione Dispari

Per prima cosa dobbiamo introdurre il concetto di posizione di un elemento algebrico. Un elemento algebrico può essere definito in posizione pari oppure dispari. La posizione dell’elemento è pari se la somma della riga e della colonna cui appartiene è un numero pari; diversamente, lo definiamo in posizione dispari.

$$ \text{ posizione $(a_{ij})$} = \begin{cases} \color{red}{\text{pari}} & \text{se } i+j = \text{pari} \ \color{blue}{\text{dispari}} & \text{se } i+j = \text{dispari} \end{cases}$$

Riprendiamo come esempio la seguente matrice 3x3:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a{11} & a{12} & a{13} \ a{21} & a{22} & a{23} \ a{31} & a{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$

Prima Riga:

• L’elemento $a_{11} = 2$ si trova sulla prima riga e sulla prima colonna; la sua posizione è pari poiché 1+1=2, che è un numero pari.
• L’elemento $a_{12} = 1$ ha posizione dispari poiché 1+2=3, che è un numero dispari.
• L’elemento $a_{13} = 3$ ha posizione pari poiché 1+3=4, che è un numero pari.

Seconda Riga:

• $a_{21} = 1$: posizione dispari (2+1=3).
• $a_{22} = 0$: posizione pari (2+2=4).
• $a_{23} = 1$: posizione dispari (2+3=5).

Terza Riga:

• $a_{31} = 1$: posizione pari (3+1=4).
• $a_{32} = -1$: posizione dispari (3+2=5).
• $a_{33} = 0$: posizione pari (3+3=6).

Segno della Posizione: (+) o (-)

Passiamo ora allo step successivo e associamo un segno specifico ad ogni posizione. In particolare, associamo un segno + agli elementi che stanno in posizione pari e un segno - agli elementi che si trovano in posizione dispari. In generale, possiamo scrivere la seguente regola per il calcolo del segno della posizione associata ad ogni elemento algebrico:

$$ \text{segno (posizione $(a_{ij})$)} = \begin{cases} \color{red}{+} & \text{se } i+j = \text{pari} \ \color{blue}{-} & \text{se } i+j = \text{dispari} \end {cases}$$

Questo può essere giustificato elevando il (-1) alla somma (i+j), dove si trova +1 se l'esponente è pari, mentre -1 se l'esponente è dispari:

$$ (-1)^{i+j} = \begin{cases} \color{red}{+} 1 & \text{se } i+j = \text{pari} \ \color{blue}{-} 1 & \text{se } i+j = \text{dispari} \end {cases}$$

Tornando al caso della nostra matrice di partenza 3x3:

$$ A = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{a{11}} & \overset{\color{blue}{-}}{a{12}} & \overset{\color{red}{+}}{a{13}} \ \overset{\color{blue}{-}}{a{21}} & \overset{\color{red}{+}}{a{22}} & \overset{\color{blue}{-}}{a{23}} \ \overset{\color{red}{+}}{a{31}} & \overset{\color{blue}{-}}{a{32}} & \overset{\color{red}{+}}{a_{33}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{2} & \overset{\color{blue}{-}}{1} & \overset{\color{red}{+}}{3} \ \overset{\color{blue}{-}}{1} & \overset{\color{red}{+}}{0} & \overset{\color{blue}{-}}{1} \ \overset{\color{red}{+}}{1} & \overset{\color{blue}{-}}{-1} & \overset{\color{red}{+}}{0} \end{pmatrix} $$

È fondamentale non confondere il segno dell'elemento con il segno della sua posizione!

Matrice Complementare ad un Elemento Algebrico

L’ultimo step logico che ci separa dal calcolo del complemento algebrico è il concetto di matrice complementare. Dobbiamo sapere che ogni elemento algebrico ha una sua matrice complementare. Questa matrice, che possiamo chiamare $A_{ij}$, è ottenuta togliendo dalla matrice A di partenza la riga e la colonna sulla quale si trova l’elemento algebrico.

$$ A{ij} = \text{ è la matrice complementare all’elemento algebrico $a{ij}$ }$$

Otteniamo $A_{ij}$ togliendo la riga i-esima e la colonna j-esima. Considerando sempre la nostra matrice 3x3:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a{11} & a{12} & a{13} \ a{21} & a{22} & a{23} \ a{31} & a{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$

Esempio di Matrici Complementari della Prima Riga:

• Per $a{11} = 2$, la matrice complementare $A{11}$ si ottiene eliminando la prima riga e la prima colonna:$$ A_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix} $$
• Per $a{12} = 1$, la matrice complementare $A{12}$ si ottiene eliminando la prima riga e la seconda colonna:$$ A_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
• Per $a{13} = 3$, la matrice complementare $A{13}$ si ottiene eliminando la prima riga e la terza colonna:$$ A_{13} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

Quindi, tutte le nove matrici complementari relative alla matrice A sono:

$$ \begin{array}{ccc} A{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix} & A{12} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} & A{13} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 1 & -1 \end{pmatrix} \ A{21} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \ -1 & 0 \end{pmatrix} & A{22} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 1 & 0 \end{pmatrix} & A{23} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix} \ A{31} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{pmatrix} & A{32} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 1 & 1 \end{pmatrix} & A_{33} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{array} $$

Calcolo del Complemento Algebrico in Dettaglio

Eccoci finalmente arrivati al calcolo del complemento algebrico. Per calcolare il complemento algebrico $A^*{ij}$ associato all’elemento algebrico $a{ij}$ usiamo la seguente regola:

$$ A^*{ij} = \text{segno(posizione $(a{ij})$)} \cdot \det A_{ij} $$

Chiaramente, per applicare questa formula, dobbiamo sapere almeno come si calcola un determinante di una 2x2.

Esempio per la Prima Riga della Matrice 3x3:

• $A^*_{11}$:
  • Segno posizione $a_{11}$: +
  • $A_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix}$
  • $\det A_{11} = (0 \cdot 0) - (1 \cdot -1) = 0 - (-1) = 1$
  • $A^*_{11} = (+) \cdot 1 = 1$
• $A^*_{12}$:
  • Segno posizione $a_{12}$: -
  • $A_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$
  • $\det A_{12} = (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = 0 - 1 = -1$
  • $A^*_{12} = (-) \cdot (-1) = 1$
• $A^*_{13}$:
  • Segno posizione $a_{13}$: +
  • $A_{13} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 1 & -1 \end{pmatrix}$
  • $\det A_{13} = (1 \cdot -1) - (0 \cdot 1) = -1 - 0 = -1$
  • $A^*_{13} = (+) \cdot (-1) = -1$

Questo processo si ripete per tutti gli elementi della matrice per ottenere la matrice dei complementi algebrici.

Calcolo del Determinante di una Matrice 4x4

Ora che abbiamo compreso i concetti fondamentali, possiamo applicare il metodo di Laplace per calcolare il determinante di una matrice 4x4. Una premessa fondamentale per farlo è la conoscenza del metodo di Laplace. Tale metodo, infatti, permette di calcolare il determinante di una matrice nxn, qualunque sia la sua dimensione.

Consideriamo la seguente matrice 4x4:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \ -1 & 0 & 1 & -1 \ 3 & 2 & 2 & 3 \ 1 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Grazie al metodo di Laplace è possibile calcolare il determinante a partire da una qualsiasi riga/colonna. Per ridurre i calcoli, un consiglio utile è scegliere la riga o la colonna con più zeri, poiché gli elementi moltiplicati per zero non richiedono il calcolo del determinante della loro matrice complementare.

Ricordiamo, infatti, che il determinante si calcola come la sommatoria dei prodotti tra elemento, segno della posizione dell’elemento e determinante della matrice complementare.

$$ \det A = \sum{j=1}^n \text{ segno (posizione $(a{ij})$}) \cdot a{ij} \cdot \det A{ij} $$

Scelta della Riga e Impostazione dei Calcoli

Scegliamo ad esempio la prima riga per lo sviluppo, riportandola con i segni delle posizioni dei rispettivi elementi:

$$ A = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{\color{green}{2}} & \overset{\color{blue}{-}}{\color{green}{1}} & \overset{\color{red}{+}}{\color{green}{0}} & \overset{\color{blue}{-}}{\color{green}{3}} \ -1 & 0 & 1 & -1 \ 3 & 2 & 2 & 3 \ 1 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

A questo punto andiamo ad applicare la regola:

$$ \det A = \color{red}{+} \color{green}{2} \cdot \det A{11} \color{blue}{-} \color{green}{1} \cdot \det A{12} \color{red}{+} \color{green}{0} \cdot \det A{13} \color{blue}{-} \color{green}{3} \cdot \det A{14} $$

Entrando nel dettaglio, questo si traduce nel calcolo di quattro determinanti di matrici di ordine 3:

$$ \det A = +2 \cdot \left| \begin{array}{ccc} 0&1&-1 \ 2&-1&2 \ -2&1&2 \end{array} \right| -1 \cdot \left| \begin{array}{ccc} -1&1&-1 \ 3&-1&2 \ 1&1&2 \end{array} \right| +0 \cdot \left| \begin{array}{ccc} -1&0&-1 \ 3&2&2 \ 1&-2&2 \end{array} \right| -3 \cdot \left| \begin{array}{ccc} -1&0&1 \ 3&2&-1 \ 1&-2&1 \end{array} \right| $$

Come potete notare, per calcolare il determinante di una 4x4 dobbiamo calcolare 4 determinanti di matrici di ordine 3. Ognuno di questi a sua volta presuppone il calcolo di 3 determinanti di matrici di ordine 2. E ognuno di questi ultimi avrà due calcoli interni.

Ricapitolando, con una 4x4 abbiamo in totale:

$$ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4! = 24 \ \text{ calcoli elementari} $$

Generalizzando, in una matrice nxn avremo un totale di:

$$ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n \ \text{ calcoli elementari} $$

Vi faccio però notare che è inutile che calcoliamo il terzo dei quattro determinanti (quello di $A_{13}$) perché questo viene moltiplicato per zero. Quindi, più zeri ci sono in una riga o una colonna e meno calcoli abbiamo per il determinante.

Andiamo ora a calcolarci il primo, il secondo e il quarto determinante.

Determinante della Prima Matrice Complementare ($A_{11}$)

Prendendo in esame il primo determinante della complementare $A_{11}$, applichiamo ulteriormente la regola di Laplace, scegliendo la prima riga:

$$ \det A_{11} = \left| \begin{array}{ccc} \overset{\color{red}{+}}{0}& \overset{\color{blue}{-}}{1}&\overset{\color{red}{+}}{-1} \ 2&-1&2 \ -2&1&2 \end{array} \right| = $$

Omettiamo il primo dei tre determinanti 2x2 poiché moltiplica lo zero.

$$ = +0 \cdot \left| \begin{array}{cc} -1&2 \ 1&2 \end{array} \right| -1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2&2 \ -2&2 \end{array} \right| +(-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 2&-1 \ -2&1 \end{array} \right| $$

$$ = 0 -1 \cdot ((2 \cdot 2) - (2 \cdot -2)) -1 \cdot ((2 \cdot 1) - (-1 \cdot -2)) $$

$$ = -1 \cdot (4 - (-4)) -1 \cdot (2 - 2) $$

$$ = -1 \cdot (4+4) -1 \cdot 0 = -8 $$

Quindi, $\det A_{11} = -8$.

Determinante della Seconda Matrice Complementare ($A_{12}$)

Passiamo ora al secondo determinante della complementare $A_{12}$, scegliendo l’ultima riga ad esempio:

$$ \det A_{12} = \left| \begin{array}{ccc} -1&1&-1 \ 3&-1&2 \ \overset{\color{red}{+}}{1}& \overset{\color{blue}{-}}{1}&\overset{\color{red}{+}}{2} \end{array} \right| = $$

$$ = +1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 1&-1 \ -1&2 \end{array} \right| -1 \cdot \left| \begin{array}{cc} -1&-1 \ 3&2 \end{array} \right| +2 \cdot \left| \begin{array}{cc} -1&1 \ 3&-1 \end{array} \right| $$

$$ = +1 \cdot ((1 \cdot 2) - (-1 \cdot -1)) -1 \cdot ((-1 \cdot 2) - (-1 \cdot 3)) +2 \cdot ((-1 \cdot -1) - (1 \cdot 3)) $$

$$ = +1 \cdot (2-1) -1 \cdot (-2 - (-3)) +2 \cdot (1-3) $$

$$ = 1 \cdot (1) -1 \cdot (-2+3) +2 \cdot (-2) $$

$$ = 1 -1 \cdot (1) + (-4) = 1 - 1 - 4 = -4 $$

Quindi, $\det A_{12} = -4$.

Determinante della Quarta Matrice Complementare ($A_{14}$)

Ora non ci resta che calcolare il quarto determinante della complementare $A_{14}$ (scegliamo la prima riga):

$$ \det A_{14} = \left| \begin{array}{ccc} \overset{\color{red}{+}}{-1}& \overset{\color{blue}{-}}{0}&\overset{\color{red}{+}}{1} \ 3&2&-1 \ 1&-2&1 \end{array} \right| = $$

$$ = +(-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 2&-1 \ -2&1 \end{array} \right| -0 \cdot \left| \begin{array}{cc} 3&-1 \ 1&1 \end{array} \right| +1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 3&2 \ 1&-2 \end{array} \right| $$

$$ = -1 \cdot ((2 \cdot 1) - (-1 \cdot -2)) -0 +1 \cdot ((3 \cdot -2) - (2 \cdot 1)) $$

$$ = -1 \cdot (2-2) -0 +1 \cdot (-6-2) $$

$$ = -1 \cdot (0) -0 +1 \cdot (-8) = 0 - 0 - 8 = -8 $$

Quindi, $\det A_{14} = -8$.

Finalizzazione del Calcolo del Determinante 4x4

Arrivati a questo punto andiamo ad inserire questi valori nel calcolo originario.Riportiamo la matrice di partenza:

$$ A = \begin{pmatrix} \overset{\color{red}{+}}{\color{green}{2}} & \overset{\color{blue}{-}}{\color{green}{1}} & \overset{\color{red}{+}}{\color{green}{0}} & \overset{\color{blue}{-}}{\color{green}{3}} \ -1 & 0 & 1 & -1 \ 3 & 2 & 2 & 3 \ 1 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Il calcolo che abbiamo impostato sulla prima riga è:

$$ \det A = \color{red}{+} \color{green}{2} \cdot \det A{11} \color{blue}{-} \color{green}{1} \cdot \det A{12} \color{red}{+} \color{green}{0} \cdot \det A{13} \color{blue}{-} \color{green}{3} \cdot \det A{14} $$

Con i risultati dei determinanti delle matrici complementari appena trovati:

$$ \det A{11} =-8 \quad \det A{12} =-4 \quad \det A{13} =\text{inutile} \quad \det A{14} =-8 $$

Quindi inseriamo i dati:

$$ \det A = 2 \cdot (-8) -1 \cdot (-4) + 0 \cdot (\text{qualsiasi valore}) -3 \cdot (-8) $$

$$ \det A = -16 + 4 + 0 + 24 $$

$$ \det A = 12 $$

Il determinante della matrice 4x4 è 12.

Sviluppo di Laplace in Sintesi: Un Approccio Ricorsivo

Il primo teorema di Laplace afferma che il determinante di una matrice quadrata di ordine n è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi (o una colonna qualsiasi) per i rispettivi complementi algebrici. Il secondo teorema di Laplace afferma che è sempre nulla la somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per i complementi algebrici di un'altra riga (o colonna) della matrice stessa.

Per provare che il determinante della matrice ottenuto operando con le righe e quello ottenuto operato con le colonne sono la stessa cosa basta ricordarsi che $\det(A) = \det(A^T)$, dove $A^T$ è la trasposta di A.

I Limiti dello Sviluppo di Laplace per Matrici di Ordine Elevato

Il calcolo del determinante di una matrice con lo sviluppo di Laplace è poco efficiente nelle matrici quadrate di ordine elevato. Come visto, per una matrice $n \times n$, il numero di operazioni necessarie cresce con $n!$, rendendo il metodo computazionalmente proibitivo per matrici di grandi dimensioni. Per esempio, una matrice 10x10 richiederebbe $10! = 3.628.800$ calcoli, un numero enorme. Esistono algoritmi più efficienti, come la riduzione a forma triangolare tramite eliminazione di Gauss, che riducono la complessità computazionale a $O(n^3)$.

Tuttavia, il metodo di Laplace rimane concettualmente importante per la sua chiarezza e per la comprensione delle proprietà del determinante.

Proprietà Fondamentali del Determinante

Oltre al metodo di calcolo, è importante conoscere alcune proprietà fondamentali del determinante, che possono semplificare notevolmente i calcoli o fornire intuizioni utili:

• Determinante di una matrice con due righe o colonne uguali: Se la matrice ha due righe uguali, il suo determinante è nullo. Analogamente, se la matrice ha due colonne uguali, il suo determinante è nullo. Questo può essere facilmente dimostrato con l'esempio:$$ \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \ a & b \end{vmatrix} = ab - ba = 0 $$Per una matrice 3x3:$$ \det(A) = \begin{vmatrix} a & b & c \ a & b & c \ d & e & f \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} b & c \ e & f \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} a & c \ d & f \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} a & b \ d & e \end{vmatrix} $$Sviluppando ulteriormente, si ottiene:$$ = a(bf-ec) - b(af-dc) + c(ae-db) = abf - aec - abf + bdc + ace - cdb = 0 $$Se la matrice ha due colonne uguali, la sua trasposta ha due righe uguali, e poiché $\det(A) = \det(A^T)$, anche in questo caso il determinante è nullo.

• Determinante del prodotto di matrici: Date due matrici quadrate A e B di ordine n, il determinante del prodotto delle matrici è uguale al prodotto dei determinanti delle due matrici:$$ \det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) $$Esempio:Considero due matrici:$$ A=\begin{pmatrix} 1 & 4 \ 3 & 2 \end{pmatrix} $$$$ B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 5 & 3 \end{pmatrix} $$I determinanti delle due matrici sono:$$ \det(A) = (1 \cdot 2) - (4 \cdot 3) = 2 - 12 = -10 $$$$ \det(B) = (2 \cdot 3) - (1 \cdot 5) = 6 - 5 = 1 $$Calcolo il prodotto delle due matrici che a sua volta è una matrice:$$ A \cdot B =\begin{pmatrix} 1 & 4 \ 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \cdot 2 + 4 \cdot 5) & (1 \cdot 1 + 4 \cdot 3) \ (3 \cdot 2 + 2 \cdot 5) & (3 \cdot 1 + 2 \cdot 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+20 & 1+12 \ 6+10 & 3+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 & 13 \ 16 & 9 \end{pmatrix} $$Il determinante della matrice prodotto è:$$ \det(A \cdot B) = (22 \cdot 9) - (13 \cdot 16) = 198 - 208 = -10 $$Se moltiplico i determinanti delle matrici A e B ottengo lo stesso risultato, ossia il determinante della matrice prodotto:$$ \det(A) \cdot \det(B) = (-10) \cdot 1 = -10 $$

• Determinante di una matrice moltiplicata per uno scalare: Il prodotto di una matrice M di ordine $n$ per uno scalare $k$ è $k \cdot M$. Il determinante di questa nuova matrice è $k^n \cdot \det(M)$.Per una matrice di ordine $n=2$:$$ k \cdot M = \begin{pmatrix} ka & kb \ kc & kd \end{pmatrix} $$Pertanto, il calcolo del determinante è:$$ \det(k \cdot M) = ka \cdot kd - kb \cdot kc = k^2ad-k^2bc =k^2 \cdot (ad-bc)=k^2 \cdot \det(M) $$Questa proprietà è utile per semplificare una matrice se tutti gli elementi possono essere raccolti a fattore comune.Esempio: In questa matrice tutti gli elementi sono divisibili per due:$$ M = \begin{pmatrix} 6 & 8 \ 4 & 2 \end{pmatrix} $$Per calcolare il determinante, possiamo scrivere $M = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \ 2 & 1 \end{pmatrix}$.Quindi, $\det(M) = 2^2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 4 \ 2 & 1 \end{pmatrix} = 4 \cdot ((3 \cdot 1) - (4 \cdot 2)) = 4 \cdot (3 - 8) = 4 \cdot (-5) = -20$.Direttamente, $\det(M) = (6 \cdot 2) - (8 \cdot 4) = 12 - 32 = -20$.

• Determinante di una matrice triangolare: Il determinante di una matrice triangolare (superiore o inferiore) è semplicemente il prodotto degli elementi sulla diagonale principale. Questo rende il calcolo molto più semplice in questi casi.Esempio:$$ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 & 1 \ 0 & 1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 5 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} $$Essendo una matrice triangolare superiore, il suo determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale: $2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 2 = 20$.Questo si può anche ottenere con Laplace scegliendo la prima colonna:$$ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 & 1 \ 0 & 1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 5 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 5 & 1 \ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} $$Poi reiterando il procedimento scegliendo la prima colonna della sottomatrice:$$ = 2 \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 \cdot (5 \cdot 2 - 1 \cdot 0) = 2 \cdot 1 \cdot 10 = 20 $$In questo modo si riduce il calcolo del determinante di una matrice 4x4 in una matrice 2x2.

Comprendere queste proprietà e il metodo di Laplace è fondamentale per chiunque voglia approfondire l'algebra lineare, sia a livello di studente che di professionista. La conoscenza di questi strumenti permette non solo di eseguire calcoli, ma anche di capire il significato profondo delle trasformazioni lineari e delle proprietà degli spazi vettoriali.

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